3.356 \(\int \text{sech}^5(e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=151 \[ \frac{a (3 a-4 b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a-b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{8 f (a-b)^{3/2}}+\frac{\tanh (e+f x) \text{sech}^3(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{4 f (a-b)}+\frac{(3 a-4 b) \tanh (e+f x) \text{sech}(e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{8 f (a-b)} \]

[Out]

(a*(3*a - 4*b)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(8*(a - b)^(3/2)*f) + ((3*a -
4*b)*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(8*(a - b)*f) + (Sech[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e +
f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x])/(4*(a - b)*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.143462, antiderivative size = 151, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.2, Rules used = {3190, 382, 378, 377, 203} \[ \frac{a (3 a-4 b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a-b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{8 f (a-b)^{3/2}}+\frac{\tanh (e+f x) \text{sech}^3(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{4 f (a-b)}+\frac{(3 a-4 b) \tanh (e+f x) \text{sech}(e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{8 f (a-b)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sech[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2],x]

[Out]

(a*(3*a - 4*b)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(8*(a - b)^(3/2)*f) + ((3*a -
4*b)*Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x])/(8*(a - b)*f) + (Sech[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e +
f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x])/(4*(a - b)*f)

Rule 3190

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Sin[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*ff^2*x^2)^p, x], x, Sin[e +
f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 382

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[(b*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(
c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), x] + Dist[(b*c + n*(p + 1)*(b*c - a*d))/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d
)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[
n*(p + q + 2) + 1, 0] && (LtQ[p, -1] ||  !LtQ[q, -1]) && NeQ[p, -1]

Rule 378

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> -Simp[(x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c
+ d*x^n)^q)/(a*n*(p + 1)), x] - Dist[(c*q)/(a*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1), x], x] /
; FreeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*(p + q + 1) + 1, 0] && GtQ[q, 0] && NeQ[p, -1]

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rule 203

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTan[(Rt[b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \text{sech}^5(e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a+b x^2}}{\left (1+x^2\right )^3} \, dx,x,\sinh (e+f x)\right )}{f}\\ &=\frac{\text{sech}^3(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2} \tanh (e+f x)}{4 (a-b) f}+\frac{(3 a-4 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a+b x^2}}{\left (1+x^2\right )^2} \, dx,x,\sinh (e+f x)\right )}{4 (a-b) f}\\ &=\frac{(3 a-4 b) \text{sech}(e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)} \tanh (e+f x)}{8 (a-b) f}+\frac{\text{sech}^3(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2} \tanh (e+f x)}{4 (a-b) f}+\frac{(a (3 a-4 b)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1+x^2\right ) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\sinh (e+f x)\right )}{8 (a-b) f}\\ &=\frac{(3 a-4 b) \text{sech}(e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)} \tanh (e+f x)}{8 (a-b) f}+\frac{\text{sech}^3(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2} \tanh (e+f x)}{4 (a-b) f}+\frac{(a (3 a-4 b)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-(-a+b) x^2} \, dx,x,\frac{\sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{8 (a-b) f}\\ &=\frac{a (3 a-4 b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a-b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{8 (a-b)^{3/2} f}+\frac{(3 a-4 b) \text{sech}(e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)} \tanh (e+f x)}{8 (a-b) f}+\frac{\text{sech}^3(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2} \tanh (e+f x)}{4 (a-b) f}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 12.4229, size = 684, normalized size = 4.53 \[ -\frac{\tanh (e+f x) \text{sech}^3(e+f x) \left (\frac{b \sinh ^2(e+f x)}{a}+1\right ) \left (10 b \sinh ^2(e+f x) \sqrt{\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )}{a^2}}+15 a \sqrt{\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )}{a^2}}+32 b \sinh ^2(e+f x) \left (\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x)}{a}\right )^{7/2} \, _2F_1\left (2,4;\frac{7}{2};\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x)}{a}\right ) \sqrt{\frac{\text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )}{a}}+32 a \left (\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x)}{a}\right )^{7/2} \, _2F_1\left (2,4;\frac{7}{2};\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x)}{a}\right ) \sqrt{\frac{\text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )}{a}}-32 b \sinh ^2(e+f x) \left (\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x)}{a}\right )^{5/2} \, _2F_1\left (2,4;\frac{7}{2};\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x)}{a}\right ) \sqrt{\frac{\text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )}{a}}-32 a \left (\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x)}{a}\right )^{5/2} \, _2F_1\left (2,4;\frac{7}{2};\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x)}{a}\right ) \sqrt{\frac{\text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )}{a}}-15 a \sin ^{-1}\left (\sqrt{\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x)}{a}}\right )-10 b \sinh ^2(e+f x) \sin ^{-1}\left (\sqrt{\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x)}{a}}\right )-20 b \sinh ^2(e+f x) \left (\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x)}{a}\right )^{3/2} \sqrt{\frac{\text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )}{a}}-30 a \left (\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x)}{a}\right )^{3/2} \sqrt{\frac{\text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )}{a}}\right )}{40 f \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)} \left (\frac{(a-b) \tanh ^2(e+f x)}{a}\right )^{3/2} \sqrt{\frac{\text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )}{a}}} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Sech[e + f*x]^5*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2],x]

[Out]

-(Sech[e + f*x]^3*(1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a)*Tanh[e + f*x]*(-15*a*ArcSin[Sqrt[((a - b)*Tanh[e + f*x]^2)/a]] -
10*b*ArcSin[Sqrt[((a - b)*Tanh[e + f*x]^2)/a]]*Sinh[e + f*x]^2 - 30*a*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f
*x]^2))/a]*(((a - b)*Tanh[e + f*x]^2)/a)^(3/2) - 20*b*Sinh[e + f*x]^2*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*
x]^2))/a]*(((a - b)*Tanh[e + f*x]^2)/a)^(3/2) - 32*a*Hypergeometric2F1[2, 4, 7/2, ((a - b)*Tanh[e + f*x]^2)/a]
*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]*(((a - b)*Tanh[e + f*x]^2)/a)^(5/2) - 32*b*Hypergeometric2F
1[2, 4, 7/2, ((a - b)*Tanh[e + f*x]^2)/a]*Sinh[e + f*x]^2*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]*((
(a - b)*Tanh[e + f*x]^2)/a)^(5/2) + 32*a*Hypergeometric2F1[2, 4, 7/2, ((a - b)*Tanh[e + f*x]^2)/a]*Sqrt[(Sech[
e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]*(((a - b)*Tanh[e + f*x]^2)/a)^(7/2) + 32*b*Hypergeometric2F1[2, 4, 7/2,
((a - b)*Tanh[e + f*x]^2)/a]*Sinh[e + f*x]^2*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]*(((a - b)*Tanh
[e + f*x]^2)/a)^(7/2) + 15*a*Sqrt[((a - b)*Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)*Tanh[e + f*x]^2)/a^2] + 10*
b*Sinh[e + f*x]^2*Sqrt[((a - b)*Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)*Tanh[e + f*x]^2)/a^2]))/(40*f*Sqrt[a +
b*Sinh[e + f*x]^2]*Sqrt[(Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2))/a]*(((a - b)*Tanh[e + f*x]^2)/a)^(3/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.104, size = 35, normalized size = 0.2 \begin{align*}{\frac{1}{f}\mbox{{\tt ` int/indef0`}} \left ({\frac{1}{ \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{6}}\sqrt{a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}},\sinh \left ( fx+e \right ) \right ) } \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sech(f*x+e)^5*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2),x)

[Out]

`int/indef0`(1/cosh(f*x+e)^6*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2),sinh(f*x+e))/f

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a} \operatorname{sech}\left (f x + e\right )^{5}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(f*x+e)^5*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*sinh(f*x + e)^2 + a)*sech(f*x + e)^5, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.42903, size = 9495, normalized size = 62.88 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(f*x+e)^5*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/16*(((3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^8 + 8*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + (3*a^2 - 4*a*b)*s
inh(f*x + e)^8 + 4*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^6 + 4*(7*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^2 + 3*a^2 - 4*a*b)*sin
h(f*x + e)^6 + 8*(7*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + 6*(3*
a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^4 + 2*(35*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^4 + 30*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^2 + 9*
a^2 - 12*a*b)*sinh(f*x + e)^4 + 8*(7*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^5 + 10*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^3 + 3*
(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 4*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^2 + 4*(7*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh
(f*x + e)^6 + 15*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^4 + 9*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^2 + 3*a^2 - 4*a*b)*sinh(f*x
+ e)^2 + 3*a^2 - 4*a*b + 8*((3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^7 + 3*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^5 + 3*(3*a^2 -
4*a*b)*cosh(f*x + e)^3 + (3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt(-a + b)*log(((a - 2*b)*cosh(f*x +
e)^4 + 4*(a - 2*b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + (a - 2*b)*sinh(f*x + e)^4 - 2*(3*a - 2*b)*cosh(f*x + e)^2 +
2*(3*(a - 2*b)*cosh(f*x + e)^2 - 3*a + 2*b)*sinh(f*x + e)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*si
nh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 - 1)*sqrt(-a + b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f
*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*((a - 2*b)*cosh(f*x + e)^3 - (3*a - 2*b)*cos
h(f*x + e))*sinh(f*x + e) + a - 2*b)/(cosh(f*x + e)^4 + 4*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + sinh(f*x + e)^4 + 2*
(3*cosh(f*x + e)^2 + 1)*sinh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)^2 + 4*(cosh(f*x + e)^3 + cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e
) + 1)) - 2*sqrt(2)*((3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 6*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*
x + e)^5 + (3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*sinh(f*x + e)^6 + (11*a^2 - 21*a*b + 10*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + (15*(3*a^2 -
5*a*b + 2*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 11*a^2 - 21*a*b + 10*b^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(5*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cos
h(f*x + e)^3 + (11*a^2 - 21*a*b + 10*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 - (11*a^2 - 21*a*b + 10*b^2)*cosh(f*x
+ e)^2 + (15*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 6*(11*a^2 - 21*a*b + 10*b^2)*cosh(f*x + e)^2 - 11*a^2
+ 21*a*b - 10*b^2)*sinh(f*x + e)^2 - 3*a^2 + 5*a*b - 2*b^2 + 2*(3*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 2*
(11*a^2 - 21*a*b + 10*b^2)*cosh(f*x + e)^3 - (11*a^2 - 21*a*b + 10*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt((b*
cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e
)^2)))/((a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^8 + 8*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + (a^2 -
2*a*b + b^2)*f*sinh(f*x + e)^8 + 4*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^6 + 4*(7*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*
x + e)^2 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f)*sinh(f*x + e)^6 + 6*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^4 + 8*(7*(a^2 - 2*a*
b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + 3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + 2*(35*(a^2 - 2*a*b + b^2
)*f*cosh(f*x + e)^4 + 30*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 + 3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f)*sinh(f*x + e)^4 + 4*
(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 + 8*(7*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 + 10*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*
cosh(f*x + e)^3 + 3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 4*(7*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x
+ e)^6 + 15*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^4 + 9*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 + (a^2 - 2*a*b +
b^2)*f)*sinh(f*x + e)^2 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f + 8*((a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^7 + 3*(a^2 - 2*a*b +
b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 + 3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f
*x + e)), 1/8*(((3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^8 + 8*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + (3*a^2 - 4
*a*b)*sinh(f*x + e)^8 + 4*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^6 + 4*(7*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^2 + 3*a^2 - 4*a
*b)*sinh(f*x + e)^6 + 8*(7*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5
+ 6*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^4 + 2*(35*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^4 + 30*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)
^2 + 9*a^2 - 12*a*b)*sinh(f*x + e)^4 + 8*(7*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^5 + 10*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)
^3 + 3*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 4*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^2 + 4*(7*(3*a^2 - 4*a*
b)*cosh(f*x + e)^6 + 15*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^4 + 9*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^2 + 3*a^2 - 4*a*b)*s
inh(f*x + e)^2 + 3*a^2 - 4*a*b + 8*((3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^7 + 3*(3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^5 + 3*(3
*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e)^3 + (3*a^2 - 4*a*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt(a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh
(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 - 1)*sqrt(a - b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sin
h(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(b*cosh(f*x + e)^
4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(2*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)
^2 + 2*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (2*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)) + sqrt(2)*
((3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 6*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + (3*a^2 -
5*a*b + 2*b^2)*sinh(f*x + e)^6 + (11*a^2 - 21*a*b + 10*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + (15*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh
(f*x + e)^2 + 11*a^2 - 21*a*b + 10*b^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(5*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (11*a
^2 - 21*a*b + 10*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 - (11*a^2 - 21*a*b + 10*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (15*(3*a^2
- 5*a*b + 2*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 6*(11*a^2 - 21*a*b + 10*b^2)*cosh(f*x + e)^2 - 11*a^2 + 21*a*b - 10*b^2)*s
inh(f*x + e)^2 - 3*a^2 + 5*a*b - 2*b^2 + 2*(3*(3*a^2 - 5*a*b + 2*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 2*(11*a^2 - 21*a*b + 1
0*b^2)*cosh(f*x + e)^3 - (11*a^2 - 21*a*b + 10*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*
sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/((a^2 - 2*a*b
+ b^2)*f*cosh(f*x + e)^8 + 8*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f*sinh
(f*x + e)^8 + 4*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^6 + 4*(7*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 + (a^2 - 2*
a*b + b^2)*f)*sinh(f*x + e)^6 + 6*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^4 + 8*(7*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x
+ e)^3 + 3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + 2*(35*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^4
+ 30*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 + 3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(a^2 - 2*a*b + b^2)*
f*cosh(f*x + e)^2 + 8*(7*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 + 10*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + 3*
(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 4*(7*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^6 + 15*(a^2 -
2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^4 + 9*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f)*sinh(f*x + e
)^2 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f + 8*((a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^7 + 3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)
^5 + 3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(f*x+e)**5*(a+b*sinh(f*x+e)**2)**(1/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.41716, size = 3009, normalized size = 19.93 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(f*x+e)^5*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

1/4*(3*a^2 - 4*a*b)*arctan(-1/2*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*
e^(2*f*x + 2*e) + b) + sqrt(b))/sqrt(a - b))/((a*f - b*f)*sqrt(a - b)) - 1/2*(3*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqr
t(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^7*a^2 - 4*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqr
t(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^7*a*b + 21*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sq
rt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^6*a^2*sqrt(b) - 60*(sqrt(b)*e^(2*f*x +
2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^6*a*b^(3/2) + 32*(sqrt(b)*e^(2
*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^6*b^(5/2) + 44*(sqrt(b)
*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^5*a^3 - 253*(sqrt(
b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^5*a^2*b + 252*(s
qrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^5*a*b^2 - 64
*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^5*b^3 - 2
92*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^4*a^3*s
qrt(b) + 317*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b
))^4*a^2*b^(3/2) - 28*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x +
2*e) + b))^4*a*b^(5/2) - 32*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(
2*f*x + 2*e) + b))^4*b^(7/2) - 176*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2
*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^3*a^4 - 168*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) -
2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^3*a^3*b + 737*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*
e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^3*a^2*b^2 - 556*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*
x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^3*a*b^3 + 128*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(
2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^3*b^4 - 528*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e
^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^2*a^4*sqrt(b) + 1176*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4
*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^2*a^3*b^(3/2) - 937*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^
(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^2*a^2*b^(5/2) + 300*(sqrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) -
sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^2*a*b^(7/2) - 32*(sqrt(b)*e^(2*f*x +
2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^2*b^(9/2) - 192*(sqrt(b)*e^(2
*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))*a^5 + 304*(sqrt(b)*e^(2
*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))*a^4*b + 124*(sqrt(b)*e^
(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))*a^3*b^2 - 487*(sqrt(b
)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))*a^2*b^3 + 308*(sq
rt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))*a*b^4 - 64*(s
qrt(b)*e^(2*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))*b^5 - 192*a^
5*sqrt(b) + 656*a^4*b^(3/2) - 884*a^3*b^(5/2) + 599*a^2*b^(7/2) - 212*a*b^(9/2) + 32*b^(11/2))/(((sqrt(b)*e^(2
*f*x + 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))^2 + 2*(sqrt(b)*e^(2*f*x
+ 2*e) - sqrt(b*e^(4*f*x + 4*e) + 4*a*e^(2*f*x + 2*e) - 2*b*e^(2*f*x + 2*e) + b))*sqrt(b) + 4*a - 3*b)^4*(a*f
- b*f))